三次对称群S3是循环群

1. 三次对称群S3是循环群

您好，证：由于任何群只能与自己的商群同态，本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群，即K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群，因此S4与K4可做商群S4/K4，显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24，|K4|=4，(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6，说明 S4/K4 是一个6阶群，而6阶群只有两种：循环群和S3，
下面只需证明S4/K4与S3同构，即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法，就验证了一下 S4/K4 不满足交换律，则 S4/K4 不可能与循环群同构，那么只能与S3同构了。
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4，(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4【摘要】
三次对称群S3是循环群【提问】
您好，证：由于任何群只能与自己的商群同态，本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群，即K4={(1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群，因此S4与K4可做商群S4/K4，显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24，|K4|=4，(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6，说明 S4/K4 是一个6阶群，而6阶群只有两种：循环群和S3，
下面只需证明S4/K4与S3同构，即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法，就验证了一下 S4/K4 不满足交换律，则 S4/K4 不可能与循环群同构，那么只能与S3同构了。
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4，(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4【回答】

2. 什么叫三次对称群

集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为3，则称群S(x)为3次对称群。
对称群是指含置换群为子类的一类具体的有限群。有限集合Ω上全体置换组成的群，称为Ω上对称群，记为SΩ或Sym(Ω).由于当|Ω|=|Ω′|=n时，对称群SΩ和SΩ′是置换同构的，所以也把SΩ记为Sn.Sn的阶为n!。
一切次数为n的置换群都可以看成Sn的子群.Ω上全体偶置换组成的群称为Ω上的交错群，记为AΩ或Alt(Ω)，或An，若n=|Ω|，则An的阶为n!/2，它是Sn的指数为2的正规子群。
Sn，An这两个群在置换群理论和抽象群论中占有特殊的地位。这一方面由于对一切n，Sn是n重传递群，而当n>2时，An是n-2重传递群；另一方面也由于当n≥5时，An为单群，它们是一类重要的有限单群。
设X是一个集合（可以是无限集），X上的一个双射：a:X→X（即是置换）。
集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。

扩展资料：

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。
1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
参考资料来源：百度百科-对称群

3. 4次对称群是交换群吗

是交换群
如果题目所问的是两个同阶的有限交换群是否同构，答案是否定的。
一个简单的反例便是{0,1,2,3}和{0,1}×{0,1}。
前者的群乘法是模4的加法，后者的群乘法定义为(a,b)·(c,d)=(a⊕c,b⊕d)，其中⊕表示异或。
容易验证这二者都是四阶群，但不同构，证明如下：
假设同构，设该同构函数为f，设f(1)=(a,b)，则f(0)=(0,0)（同构将一个群的幺元映射成另一个群的幺元），f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=(a⊕a,b⊕b)=(0,0)=f(0)。
这说明f不是单射，这与f是同构矛盾。
因此由反证法知这两个群不同构。
扩展资料
近世代数即抽象代数。
代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。
他使代数学由作为解代数方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。